非負の可測関数の積分の定義に関する疑問

とある本を読んでいて，非負の可測関数の積分が以下で定義してあった．

$(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$を測度空間とする． 関数$f: \Omega \rightarrow [0, \infty)$を$\mathcal{F}$-可測とする． $\{f_n\}$を，各点$x \in \Omega$で単調に増加する非負単関数列とする． $\lim_{n \rightarrow \infty} f_n(x) = f(x)$とする（各点収束）． この時，$f$の積分を以下で定義する． $$ \begin{aligned} \int_\Omega f(x) d\mu(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \int_\Omega f_n(x) d\mu(x) \end{aligned} $$

これを見たとき，数列$\{\int_\Omega f_n(x) d\mu(x)\}$は収束するのだろうか？という疑問が浮かんだので，整理してみる． 有界単調増加数列の収束定理より，$\int_\Omega f_{n}(x) d\mu(x) \geq \int_\Omega f_{n-1}(x) d\mu(x)$を示せば良い． $f_n - f_{n-1}$も単関数である． そして，$x \in \Omega$で，$f_n(x) - f_{n-1}(x) \geq 0$である． $f_n(x) - f_{n-1}(x) = \sum_{j=1}^m \alpha_j 1_{B_j}(x)$とすると，$\alpha_j \geq 0$でなければならない．なぜなら，単関数の定義より，$B_j$は互いに素なので，$x$はどれかひとつの$B_j$にしか属することでできない．つまり，どれか一つの$\alpha_j$が選ばれることになる．ということわけで，$\alpha_j \geq 0, \ \forall j = 1, \ldots, m$でなければならない．単関数の積分の定義より， $$ \begin{aligned} \int_{\Omega} (f_n(x) - f_{n-1}(x)) d\mu(x) = \sum_{j=1}^m \alpha_j \mu(B_j) \geq 0 \\ \end{aligned} $$ となる．よって， $$ \begin{aligned} &\int_{\Omega} (f_n(x) - f_{n-1}(x)) d\mu(x) \geq 0 \\ &\Leftrightarrow \int_{\Omega} f_n(x) d\mu(x) - \int_{\Omega} f_{n-1}(x) d\mu(x) \geq 0 \text{(要証明)} \\ &\Leftrightarrow \int_{\Omega} f_n(x) d\mu(x) \geq \int_{\Omega} f_{n-1}(x) d\mu(x) \end{aligned} $$ となる．したがって，$\{\int_\Omega f_n(x) d\mu(x)\}$は収束する． > Written with [StackEdit](https://stackedit.io/).